Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Задание 1.
Даны векторы а={1,0,2} и b={3,-1,1}. Найти косинус угла между векторами
с=3a-2b
и b.
Решение
|
№ п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
|
|
1.
|
Изучить основные операции с векторами, заданными в
координатной форме.
|
|
|
2.
|
Вычислить координаты вектора 3a и -2b
|
3a={3,0,6}
-2b={-6,2,-2}
|
|
3.
|
Вычислить координаты вектора c=3a-2b
|
C={9,-2,8}
|
|
4.
|
Вычислить скалярное произведение векторов с и b
|
(c, b)=27+2+8=37
|
|
5.
|
Вычислить длинну вектора c
|
|c|=√92+(-2)2+82=√149
|
|
6.
|
Вычислить длинну вектора b
|
|b|=√32+(-1)2+12=√11
|
|
7.
|
Вычислить косинус угла между векторами с и b
|
 Cosφ= 9*3+(-2)*(-1)+8*1 = 37
 √92+(-2)2+82
* √32+(-1)2+12 √160
|
|
8.
|
Выписать ответ
|
 Φ =
arcos ( 37 )
√160
|
Задание 3.
Привести к каноническому виду уравнение кривой 4x2+16x-y2+18y-49=0. Определить её тип, вычислить основные
параметры.
Решение
|
№ п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму.
|
|
1.
|
Ознакомится с каноническими уравнениями кривых
второго порядка.
|
|
|
2.
|
Выделить полные квадраты независимых переменных.
|
4x2+16x=4(x2+4x+4)-16=4(x+2)2-16
-y2+18y=-(y2+18y+81)-81=
-(y+9)2-81
|
|
3.
|
Преобразовать уравнение
|
  4(x+2)2-16-(y+9)2-81-49=0
4(x+2)2-(y+9)2=146
(x+2)2 _ (y+9)2 = 1
1
4
(x+2)2
_ (y+9)2 = 1
12 22
|
|
4.
|
Определить тип кривой
|
Гипербола
|
|
5.
|
Выписать параметры кривой
|
1. Действительная полуось a=1,
мнимая полуось b=2.
2. c2=a2+b2=1+4=5, c=√5.
Расстояние между фокусами 2c=√9=3.
|
Задание
4.
Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат,
перпендикулярной прямой
x-3 = y-2 = z+1 .
4
-1 1
Решение
|
№ п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
|
|
1.
|
Освоить различные способы задания плоскости в
пространстве
|
|
|
2.
|
Написать уравнение плоскости проходящей через начало
координат, перпендикулярной прямой
|
4(x-0)-1(y-0)+1(z-0)=0 или
4x-y+z=0
|
Задание 5.
Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(3,-2,4) на плоскость 5x+3y-7z+1=0.
Решение
|
№ п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие задания предложенному
алгоритму
|
|
1.
|
Составить уравнение перпендикуляра, опущенного на
плоскость
|
 x-3 = y+2
= z-4
5
3 7
|